Módulos de Matemáticas

Introducción General:

Se adquirirán destrezas en el manejo de técnicas y procedimientos para la solución de problemas. Se hará uso de lenguaje matemático, de la sistematización de información y de las formas de representación gráfica y analítica. Manejará los conocimientos, métodos y algoritmos matemáticos establecidos en los programas, tanto básicos como auxiliares para abordar los contenidos de otras materias. Elaborará y usará modelos matemáticos en la resolución de problemas de optimización de recursos y en el análisis económico de problemas en el ámbito de las empresas.

MODULO 1. Introducción al cálculo en dos variables.

Introducción:

En este modulo comprenderá los conceptos básicos del cálculo diferencial en varias variables, así como la resolución de problemas en el entorno económico-administrativo, enfatizando aquellos del área de optimización de recursos.

1.1  Funciones en dos variables.

“La derivada de un producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda sin derivar, más la primera función sin derivar por la derivada de la segunda”

La derivada de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función, siendo la siguiente fórmula:

1.2  Derivadas parciales.

En matemáticas, , una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en calculo vectorial  y geometría diferencial 

Donde  es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.

Cuando una magnitud A es función de diversas Variables (X,Y,Z), es decir:

                                                          A= f (x,y,z..)

Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función A en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z.

Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.

1.3 Máximos y mínimos de funciones de dos variables.

Los máximos o mínimos de una función, conocidos como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva o en el dominio de la función en su totalidad.

Máximo de una función: Sea una función: f: A~R A(R. Se dice que f  tiene un máximo absoluto en A si existe por lo menos un punto en A tal que: f (x) sea mayor que f (a).

Sea f A~R se dice que f tiene un máximo relativo en aE A si existe un intervalo abierto  “I”.

La regla para encontrar los máximos y mínimos es:

Se encuentra la primera derivada de la función. Se iguala a cero la primera derivada y se encuentran las raíces de la ecuación resultante. Estas raíces son los valores críticos de la variable. Se consideran los valores críticos uno por uno y se calculan los signos de la primera derivada en primer lugar para un valor un poco menor que el valor crítico y después para un valor un poco mayor que el valor crítico.

Si el signo de la derivada es primeramente + y después – la función tiene un máximo para este valor crítico de la variable, en caso contrario tiene un mínimo. Si el signo no cambia la función no tiene ni máximo ni mínimo para el valor crítico considerado.

Una función es cóncava o presenta con cavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva

Una función es convexa o presenta concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva.

1.4  Aplicaciones: Optimización de funciones de dos variables que representen gastos, ingresos o utilidad.

Función de costo: Una función costo especifica el costo C como una función de la cantidad de artículos x. En consecuencia, C(x) es el costo de x artículos, y tiene la forma

Costo = Costo variable + Costo fijo

en la que el costo variable es una función de x y el costo fijo es constante. Una función costo de la forma

C(x) = mx + b

se llama una función costo lineal; el costo variable es mx y el costo fijo es b. La pendiente m, el costo marginal, mide el costo incremental por artículo.

Función de ingreso: El ingreso que resulta de una o más transacciones comerciales es el pago total recibido, y a veces se la llama ingreso bruto. Si I(x) es el ingreso por vender x artículos al precio de m cada uno, entonces I es la función lineal I(x) = mx y el precio de venta m se puede también llamar ingreso marginal.

Función de utilidad: La utilidad es el ingreso neto, o lo que queda de los ingresos después de restar los costos. Si la utilidad depende linealmente en el número de artículos, entonces la pendiente m se llama la utilidad marginal. La utilidad, el ingreso, y el costo son relacionados por la siguiente formula:

Utilidad	=	Ingreso − Costo
U	=	I − C

Si la utilidad es negativa, por ejemplo −$500, se denomina pérdida (de $500 en este caso). El equilibrio, salir a la par o salir tablas quiere decir no obtener utilidades ni tener pérdidas. De esta forma, equilibrio ocurre cuando U = 0, o

I = C

Equilibrio

     El punto equilibrio es el número de artículos x a lo cual presenta el equilibrio.



Resumen:

Una función de valor real, f, de x, y, z, ... es una regla para obtener un nuevo número, que se escribe como f(x, y, z, ...), a partir de los valores de una secuencia de variables independientes (x, y, z, ...).

La función f se llama una función de valor real de dos variables si hay dos variables independientes, una función de valor real de tres variables si hay tres variables independientes, y así sucesivamente.

Como las funciones de una variable, funciones de varias variables se pueden representar en forma numérica (por medio de una tabla de valores), en forma algebraica (por medio de una formula), y en forma gráfica (por medio de una gráfica).

Bibliografía

Monografías. (2014). Funciones de dos o más variables. Octubre 2015, de Monografías Sitio web: http://www.monografias.com/trabajos78/funciones-dominio-rango-curva-nivel/funciones-dominio-rango-curva-nivel.shtml

Elber GO9. (2014). Derivada de un producto de dos funciones. Octubre 2015, de Elbet GO9 Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=8fs61kHD_xg

Wikipedia. (2010). Derivadas parciales. Octubre 2015, de Wikipedia Sitio web: https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial

Paul Arciniega. (Julio 2014). Máximos y mínimos de una función. Octubre 2015, de YouTube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=sQoFI1piXzo

María Victoria. (2014). Funciones de Varias variables. Octubre 2015, de Google Sitio web: http://www.ciencias.ula.ve/matematica/publicaciones/guias/servicio_docente/maria_victoria/funciones_varias_variables2011.pdf

Jagdish C. Arya, Robin W. Lardner. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración y economía. México: Pearson 

Conclusión: 

Tras el estudio de las nombradas funciones matemáticas, podemos concluir en que son muy importantes tanto para las matemáticas como para muchas otras ciencias, en especial la física y la química.
El objetivo planteado en la introducción se cumplió, ya que se pudo observar a lo largo del desarrollo los diferentes usos de las funciones en la vida diaria y, al haber también estudiado las ecuaciones matemáticas, nos queda un modelo que podemos aplicar frente a cierta problemática.
Creemos que el resultado obtenido tras el trabajo de investigación fue positivo, ya que se cumple la consiga en cuanto a la información teórica, y creemos que también esta monografía nos será útil en la práctica.

MODULO 2. Integración

Introducción:

Este módulo le ayudará a entender el concepto de integral y su relación con la derivada. Resolverá problemas de aplicación dando énfasis a aquellos relacionados con las áreas económico-administrativas tales como: Economía, Mercadotecnia, Administración, Turismo, Recursos Humanos, Sistemas de Información y Negocios Internacionales.

2.1 Anti derivada.

La anti derivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.

Por ejemplo:

Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una anti derivada de Observe que no existe una derivada única para cada función. por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra anti derivada de f(x). 

2.2 Integral indefinida.

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por ∫ f(x) dx.

Se lee: integral de f de x diferencial de x.

∫ es el signo de integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Propiedades de la integral indefinida:

1.    La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

2.     La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

 2.2.1 Integración con condiciones iniciales.

La ecuación y =∫f(x)dx admite infinitas soluciones que difieren en una constante. Esto significa que las gráficas de dos primitivas cualesquiera de f son traslaciones verticales una de la otra.

 Por ejemplo,

 y = 2 3 ∫ (3x −1)dx = − x x + C

(Solución general) para diversos valores enteros de C. Cada una de esas primitivas es una solución de la ecuación dy 2 dx = 3x −1 Una solución particular de esta ecuación será una única primitiva, es decir, conocemos el valor de la constante C. En muchas aplicaciones de la integración, hay información suficiente como para conocer este valor particular de C. Esta información se llama condición inicial (que abreviamos como c.i.), nombre debido al hecho que en las aplicaciones, generalmente la variable independiente es el tiempo t. Por ejemplo, en el caso anterior, una c.i. sería que la curva debe pasar por el punto (2, 4). Para hallar esta curva en particular, usamos la información: F(x) = x3 – x +C (solución general) F(2) = 4 (condición inicial) Resulta que C = -2, como puede deducirse fácilmente.

2.3 Fórmulas básicas de integración

https://ingenieriaensistemasuat.wordpress.com/2010/12/14/381/

2.3.1 Integral indefinida de una constante.

La constante de integración "C", nos recuerda que podemos añadir cualquier constante y así obtener una anti derivada.

2.3.2 Integral de una constante por una variable.

La integral de una constante es igual a la constante por X 

La fórmula es: 

Ejemplo: 

Integral de cero:

2.3.3 Integral de xn

2.3.4 Integral de en 

2.3.5 Integral de una constante por una función de x.

La integral indefinida de una función siempre va acompañada de una constante. Esta constante representa una ambigüedad inherente a la construcción de primitivas. El conjunto de todas las primitivas de f viene dado por las funciones F(X)+C.

 La derivada de cualquier función constante es cero. Una vez se ha encontrado una primitiva F, sumándole o restándole una constante C se obtiene otra primitiva, porque (F + C) ' = F ' + C ' = F'. La constante es una manera de expresar que cada función tiene un número infinito de primitivas diferentes.

2.3.6 Integral de una suma (diferencia) de funciones.

2.3.7 Regla de la potencia.

La derivada de una potencia o función potencial, es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base.

La regla para la regla de la potencia es: 

2.3.7.1 Integrales que incluyen un

El cambio de variable es una herramienta necesaria en todo arsenal de integración (normalmente no se ponen herramientas en arsenales, pero arsenal suena mejor que caja de herramientas). En esencia es la regla de la cadena al revés. El cambio de variable es muy útil para cualquier integral en la que la expresión sea de la forma g(f(x))f'(x), (y unos cuantos casos más). Con el tiempo podrás resolver estas integrales en tu cabeza, sin necesariamente hacer la sustitución en papel. ¿Por qué para hacer el cambio de variable usamos la letra "u"? Bueno, podría haber sido cualquier letra, pero es una convención. Yo pienso, ¿por qué no la letra "u"? 

https://es.khanacademy.org/math/integral-calculus/integration-techniques

2.3.7.2 Integrales que incluyen funciones exponenciales.

En la imagen que se muestra, se encuentran las reglas para las integrales que contienen exponenciales

2.3.8 Integrales que incluyen funciones logarítmicas.

Es una función especial  de relevancia significativa en problemas de física y teoría de numerosos, ya .que da una estimación de la cantidad de números primos menores que un determinado valor.

Se define como:

         

Representación de la integral: 

La integral logarítmica tiene una representación en forma de integral definida para todos los números reales positivos 

mediante la integral 

Donde In denota el logaritmo natural. La función 1/In (t) tiene la singularidad en t= 1 y la integral para x>1 tiene que ser interpretada utilizando el valor principal de Cauchi:

2.3.9 Integrales que incluyen (1/u)du

En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la anti derivada. La integración directa requiere confeccionar una tabla de funciones y sus anti derivadas o funciones primitivas.

Ejemplo

Calcular la integral indefinida 

Una fórmula estándar sobre derivadas establece que:

para x>0 . De este modo se podría responder que la solución del problema es:

pero ha que tener en cuenta que la fórmula solo es válida para valores positivos de x. La restricción es muy razonable, ya que la función In(x), no esta definida para valores negativos cero. Sin embargo, para valores negativos también existe una integral definida de 1/x que es In(-X). Para incluir ambos casos se dice que la solución es:

2.3.10 Integrales incluyen au

http://www.aprendematematicas.org.mx/LaTeX2e/formularios/ti.pdf

2.3.11 Integral por partes.

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

Las funciones logarítmicas "arcos" y polinómicas se eligen como "u"

Las funciones exponenciales y trigonométricas del tipo seno y coseno se eligen como "v"

2.4 Aplicaciones: Determinación de funciones de costo, utilidades, consumo, y ahorro a partir de sus marginales.

Costo:

Costo total (CT): representa el gasto monetario total mínimo necesario para obtener cada nivel de producción Q. Aumenta a medida que aumenta Q.

Siempre, por definición CT = CF+CV, donde

Costo fijo (CF): representa el gasto monetario total en que se incurre aunque no se produzca nada. No resulta afectado por las variaciones de la cantidad de producción.

Costo variable (CV): representa los gastos que varían con el nivel de producción- como las materias primas, los salarios y el combustible- y comprende todos los costos que no son fijos.

Costo medio o unitario (Cme): es uno de los conceptos de costo más importantes pues cuando se compara con el precio o el ingreso medio, permite saber si la empresa está obteniendo o no un beneficio. Es el costo total dividido por el número de unidades producidas.

Cme = CT/Q

Costo fijo medio (CFMe): es el costo fijo dividido por Q. Al aumentar la producción el valor del CFMe disminuye.

CFMe = CF/Q

Costo variable medio (CVMe): es el costo variable dividido por el nivel de producción Q.

CVMe =CV/Q

Costo marginal de producción (CM): es el costo adicional en que se incurre al producir una unidad adicional.

 en el caso que se conozca la función de costo total, CM = (CT)’.

- Incremento de los costos marginales:

Si el incremento del CM es mayor que 1, la producción de una unidad adicional trae consigo un aumento mayor a la unidad en los costos totales.

Si el incremento es igual a 1, el cambio en los costos totales es proporcional al aumento de la producción.

Si el incremento es menor que 1, el incremento en el costo es menor que el incremento de la producción.

Elasticidad de los costos: indica cómo se adaptan los costos cuando varía la cantidad producida. Específicamente se define como la variación porcentual de los costos dividida por la variación porcentual de las cantidades producidas.

Unidades

Matemáticamente puede demostrarse que si es posible modelizar la conducta de un consumidor perfectamente racional mediante funciones de utilidad convexa, entonces esta conducta puede resumirse mediante una curva de demanda  decreciente. Más sencillamente, si existe una función de utilidad para el consumidor racional y se dan unos supuestos matemáticamente razonables entonces existe una "curva de demanda".

Dada una economía en que un consumidor puede adquirir n mercancías diferentes (las cuales se suponen infinitamente divisibles o altamente divisibles), la función de utilidad se define como:

Donde Q1 se interpreta como la cantidad disponible del bien.

U Se interpreta como la unidad total de una cierta combinación de bienes. 

Algunas propiedades usualmente requeridas son:

1) Diferenciabilidad usualmente se supone que la función anterior es no solo continúa si no también diferenciable

2) Mono tonicidad: Si la función es monótona creciente entonces todas las derivadas parciales serán positivas o cero.

3) Convexidad: Si la función es convexa esto implicara que las derivadas parciales segundas no mixta serán no negativas.

La condición (1) es mera conveniencia matemática, la condición (2) es importante debe ser satisfecha por toda función de utilidad, mientras que la condición (3) tiene que ver con el principio de utilidad marginal decreciente.

Consumo:

En economía la función de consumo, o mejor dicho, la función de gasto en consumo, es una simple función matemática usada para expresar el gasto de consumidores Fue mencionada por primera vez por John Maynard Keynes , que trató de detallarla en su libro más famoso La Teoría General del Empleo, el interés y el Dinero. La función se usa para calcular la cantidad total de consumo en una economía Debido a la falta de herramientas matemáticas cuando fue diseñada por primera vez, se ideó una función muy simplista. Constaba de un consumo autónomo que no es influenciado por la renta corriente y de un consumo inducido  que si resulta influido por el nivel de renta de la economía.

Esta función podría escribirse de distintas formas, siendo la más simplista

Una función refinada de la función de gasto en consumo inicial se muestra a continuación:

donde C = consumo total,

c0= consumo autónomo (c₀ > 0),

c1 es la propensión marginal a consumir (0 < c₁ < 1), y

Y d= renta disponible (renta que queda tras la intervención del Gobierno – beneficios, impuestos pagos por transferencia – o Y + (G – T)).

El consumo autónomo representa el consumo cuando la renta actual es cero. Se considera normalmente asumido que este consumo es positivo. La propensión marginal a consumir (PMC), por otro lado, mide la tasa a la que cambia el consumo cuando cambia la renta. Desde el punto de vista de su representación geométrica la PMC es la pendiente de la función de consumo.

La PMC se asume como positiva. De esta forma, según la renta se incrementa, el consumo aumenta. Sin embargo, Keynes mencionó que los incrementos (de la renta y el consumo) no son iguales. De acuerdo con su exposición, "según la renta se incrementa, el consumo aumenta aunque no tanto como aumenta la renta".

La función de consumo Keynesiana se conoce también como hipótesis de la renta absoluta pues solo basa las variaciones del consumo en las variaciones de la renta corriente e ignora la posible renta futura (o la falta de ella).

Resumen:

Dada la integral, se debe reconocer primero si es un tipo de integración inmediata o si se puede reducir a alguno de ellos haciendo transformaciones elementales; en caso contrario habrá que aplicar los métodos de integración.

Bibliografía:

Jagdish C. Arya, Robin W. Lardner. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración y economía. México: Pearson 

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vitutor . (Noviembre 2012). Integral indefinida. Octubre 2015, de Google Sitio web: http://www.vitutor.com/integrales/indefinidas/integral_indefinida.html

Tareas Plus. (Junio 2012). Introducción al concepto de anti derivada. Septiembre 2015, de Google Sitio web: http://www.vitutor.com/integrales/indefinidas/integral_indefinida.html

Slide Share . (ago. 2011). Constante de Integración. Noviembre 2015, de Google Sitio web: http://es.slideshare.net/jagnegrete/constante-de-integracin

Salvador FI. (Febrero 2015). Ecuación diferencial con condiciones iniciales. Octubre 2015, de Google Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=0h7CA4YOWCM

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Vitutor. (2013). Integral Definida. Agosto 2015, de Google Sitio web: http://www.vitutor.net/1/integral_definida.html

Autonoma de las Américas . (2013). Integral definida para una constante . julio 2015, de Google Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=fiMBm-1OfQk

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Vitutor. (2011). Integral definida . febrero 2015, de Google Sitio web: http://www.vitutor.com/integrales/indefinidas/integral_indefinida.html

math2me. (2012). Integral de suma o resta de funciones . julio 2015, de YouTube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=yn_hFO6W6Jk

profmena. (2013). Regla de la potecia para las integrales. Agosto 2015, de YouTube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=PV6HEYzwh7s

julioprofe. (2012). Integrales directas . mayo 2015, de YouTube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=1V3SFV8A5yw

Vitutor. (2014). Integrales Logarítmicas. abril 2015, de Google Sitio web: http://www.vitutor.com/integrales/indefinidas/integrales_logaritmicas.html

julioprofe. (2012). Integral por sustitución. junio 2015, de YouTube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=6Yer--EF1EY

Vitutor . (2013). Integral por partes . Febrero 2015, de google Sitio web: http://www.vitutor.com/integrales/metodos/integral_partes.html

Jorge Cogollo. (2015). Ejercicio de Utilidad. octubre 2015, de YouTube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=KYoxy_DO0oo

Conclusión:

La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños convirtiéndolos en un todo.

En el campo de la administración equivalentemente hablando la concepción seria la misma agregándole la lógica, la describiría como la sumatoria u ordenamiento inteligente de todos los parámetros operacionales concatenados eficientemente entre recursos humanos y logísticos con el objetivo de alcanzar un bien en común necesario para mejorar nuestra sociedad.

Módulo 3 Integral Definida

Introducción:

Con la información proporcionada comprenderá el concepto de integral definida así como su interpretación gráfica. Resolverá problemas de aplicación geométrica al mismo tiempo que resolverá problemas del entorno económico-administrativo.

Aplicará técnicas adicionales para la resolución de integrales que presentan estructuras complejas asociadas con modelos y problemas del entorno económico-administrativo.

El alumno entenderá los conceptos elementales del álgebra lineal y los aplicará en problemas del ámbito económico y de gestión de negocios.

3.1 Área bajo la curva.

Dada una función f(x) y un intervalo [a, b] la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x= a y x=b.

La integral definida se representa por: 

Donde:

∫ Es el signo de integración

a Límite inferior de la integración

b Límite superior de la integración

dx Es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra

Imagen de cómo queda el área bajo la curva cuando la graficamos:

Las propiedades de la integral definida son:

1) El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración

2) Si los límites de integración coinciden, la integral definida vale cero.

3) Si C es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4) La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales 

5) La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función

3.2 Teorema Fundamental del cálculo.

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación y la integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función acotada e integrable (siendo continua o discontinua en un número finito de puntos), verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo

 Supóngase que se tiene una función continua y = f(x) y que su representación gráfica es una curva. Entonces, para cada valor de x tiene sentido de manera intuitiva pensar que existe una función A(x) que representa el área bajo la curva entre 0 y x aún sin conocer su expresión.

Supóngase ahora que se quiere calcular el área bajo la curva entre x y x+h. Se podría hacer hallando el área entre 0 y x+h y luego restando el área entre 0 y x. En resumen, el área de esta especie de "loncha" sería A(x+h) − A(x).

Otra manera de estimar esta misma área es multiplicar h por f(x) para hallar el área de un rectángulo que coincide aproximadamente con la "loncha". Nótese que la aproximación al área buscada es más precisa cuanto más pequeño sea el valor de h.

Por lo tanto, se puede decir que A(x+h) − A(x) es aproximadamente igual a f(x) · h, y que la precisión de esta aproximación mejora al disminuir el valor de h. En otras palabras, ƒ(x)·h ≈A(x+h) − A(x), convirtiéndose esta aproximación en igualdad cuando h tiende a 0 como límite.

Dividiendo los dos lados de la ecuación por h se obtiene

Cuando h tiende a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuación es sencillamente la derivada A’(x) de la función A(x) y que el miembro izquierdo se queda en ƒ(x) al ya no estar h presente.

Se muestra entonces de manera informal que ƒ(x) = A’(x), es decir, que la derivada de la función de área A(x) es en realidad la función ƒ(x). Dicho de otra forma, la función de área A(x) es la anti derivada de la función original.

Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una función y "hallar el área" bajo su curva son operaciones "inversas", es decir el objetivo del teorema fundamental del cálculo integral.

3.3 Propiedades de la integral definida.

Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las integrales definidas que ayudarán a evaluarlas  con más facilidad

1) 

Donde C es una constante 

2) Si f y g son integrables en [a, b] , y c es una constante entonces las siguientes propiedades son verdaderas:

3) Si x está definida para x= a entonces: 

4) Si f es integrable en [a, b], entonces:

5) Propiedad de aditividad del intervalo si f es integrable en los dos intervalos cerrados definidos por a, b y c entonces:

3.4 Área entre una y dos curvas.

El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área que esta situada por debajo y su denotación es:

3.5 Aplicaciones: Excedente del consumidor y del productor, valor presente y valor futuro.

Excedente del Consumidor y del Productor: 

El excedente del consumidor es un concepto basado en la Ley de la Oferta y la Demanda, y es la ganancia monetaria obtenida por los consumidores, ya que son capaces de comprar un producto a un precio menor del que estarían dispuestos a pagar. En otras palabras, la cantidad de dinero en que los consumidores valoran un bien o servicio por encima de su precio de compra.

Si el precio fuese A, la demanda sería mínima (precio muy alto hace lo los consumidores no quieran comprar) y la oferta grandísima (precio muy alto hace que los productores obtengan muchos beneficios a ese precio si consiguen vender la producción).

Si el precio fuese B, la demanda sería altísima ya que el producto se vendería muy barato, pero la oferta sería bajísima ya que a pocos productores les interesaría producir.

En el precio de equilibrio se iguala la cantidad de interesados en consumir a ese precio y los interesados en producir. El excedente del consumidor será el valor acumulativo de todos aquellos que estaban dispuestos a pagar más pero que al ser el precio más bajo tienen un excedente.

Por su parte, desde el punto de vista de los productores estos tendrán un excedente del productor.

Valor Presente y valor Futuro:

El Valor Futuro no es otra cosa, que el valor que tendrá una inversión en un tiempo posterior (del presente al futuro).

VFinv = VPinv (1+i)n      

Donde: VPinv: Valor actual de la inversión n: número de años de la inversión i: tasa de interés anual expresada en tanto por uno VFinv: Valor futuro de la inversión Aumenta, a medida que aumenta la tasa y el tiempo. Suponga una inversión de 150,000, a 3 años con una tasa del 7.8%: VFinv = 150,000 (1.078)3 = $187,908.98 Se capitaliza en períodos anuales

Con capitalización mensual

VFinv=150,000 (1 + i/12)n VFinv=150,000(1+0.078/12)36 VFinv=150,000(1.0065)36 VFinv=150,000(1.262688)= $189,403.20 Se capitaliza mensualmente

El Valor Presente es el valor que tendrá una inversión futura en el presente, o sea hoy. (Del futuro al presente) Misma notación, pero ahora la fórmula es:

Capitalización mensual

El VPinv será mayor cuando menor sean i y n. Recordando que los logaritmos son números artificiales, creados para simplificar las operaciones

Para calcular el número de períodos, tenemos los siguientes datos: Suponga una inversión de 150,000, a 3 años con una tasa del 7.8%: Con logaritmos neperianos: Loge(x) = Ln(x)

Con logaritmos base 10: Log 10(x) = Log (x).

Resumen:

La integral definida es el límite de los sumas de Riemann cuando el número de subdivisiones vuelve más y más grande (tiende a +∞).

La función f se llama le integrando, los números a y b son los límites de integración, y el variable x se llama la variable de integración.

Aproximando la integral definida Para aproximar la integral definida, usamos una suma de Riemann con un número grande de subdivisiones.

Fuentes:

Jagdish C. Arya, Robin W. Lardner. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración y economía. México: Pearson 

Google. (2012). Área bajo la curva . julio 2014, de Google Sitio web: http://centros5.pntic.mec.es/ies.de.melilla/area_bajo_curva.htm

Tareas Plus. (2012). Integral definida y teorema fundamental del cálculo. Septiembre 2014, de YouTube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=4rqv70-XC7E

Vitutor . (2013). Integral definida . diciembre 2014, de Google Sitio web: http://www.vitutor.com/integrales/definidas/integral_definida.html

Julio profe. (2010). Área entre curvas . abril 2015, de YouTube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=0hs3v3lilT8

Academy Plus 1. (2011). Valor presente y valor futuro . Enero 2015, de Youtube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=pKD8cmh7nvo

Conclusión:

La integral definida, que se puede tomar una herramienta de calculo importantísima no tan solo por sus usos actuales, si no por la gran influencia que ha tenido en muchas otros tópicos de las matemáticas y física aplicadas a nivel industrial, ya que al utilizarlas en el cálculo de áreas, volúmenes de distintas regiones y sólidos de revolución, son de gran ayuda en las bases de distintas ramas de las ciencias exactas, como análisis de estructuras, estabilidad y control, mecánica de fluidos y dinámica entre muchas otras áreas donde se ven involucradas las integrales definidas.  

MODULO 4. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

Introducción:

En este módulo, entenderá los conceptos elementales del álgebra lineal y los aplicará en problemas del ámbito económico y de gestión de negocios

4.1 Sistemas de ecuaciones lineales.

4.1.1 Definición

Es un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado, definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de una ecuación  lineal es el siguiente:

El problema consiste en encontrar lo valores  desconocidos de las variables x₁, x₂ y x₃ que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural,estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación  de problemas no lineales de análisis numérico. 

4.1.2 Sistemas de ecuaciones lineales: consistentes, inconsistentes, y su representación paramétrica del conjunto solución.

Consistentes 

Consistente dependiente: Si todas las ecuaciones en un sistema de ecuaciones lineales calculan la misma recta en un pedazo de papel milimetrado, de manera que todas las rectas se superpongan unas sobre otras, podemos llamar a tal sistema de ecuaciones como un sistema de ecuaciones lineales inconsistente e independiente. En este caso obtenemos un número infinito de soluciones porque todos los puntos por encima de la recta son puntos de intersección. -

Consistente dependiente: Si todas las ecuaciones en un sistema de ecuaciones lineales calculan la misma recta en un pedazo de papel milimétrico de manera que todas las rectas se supongan unas sobre otras, podemos llamar a tal sistema de ecuaciones como un sistema de ecuaciones lineales inconsistente e independiente. En este caso obtenemos un número infinito de soluciones porque todos los puntos por encima de la recta son puntos de intersección.

La solución dependiente es aquella por medio de la cual se obtienen numerosas soluciones para una sola variable, este es el caso de las soluciones múltiples. Para este sistema de ecuaciones, si aplicamos la operación de transformación de fila generalmente obtendremos pocos términos de cero. Usualmente, es el caso donde el número de variables es mayor que el número de ecuaciones en el sistema. Muchas veces este sistema contiene una fila cero.

La solución del sistema es x = 4 - 3t, y = 3 + 2t, z = t. 

La gráfica queda así: 

Inconsistentes

La solución es inconsistente, cuando no obtenemos ninguna solución para el sistema de ecuaciones lineales. 

Consistente dependiente: Si todas las ecuaciones en un sistema de ecuaciones lineales calculan la misma recta en un pedazo de papel milimetrado, de manera que todas las rectas se superpongan unas sobre otras, podemos llamar a tal sistema de ecuaciones como un sistema de ecuaciones lineales inconsistente e independiente. En este caso obtenemos un número infinito de soluciones porque todos los puntos por encima de la recta son puntos de intersección. 

 La gráfica queda asi: 

4.1.3 Métodos para resolución de sistemas de ecuaciones lineales: método gráfico, igualación, sustitución, eliminación (sumas y restas).

Método gráfico:

Un sistema con   incógnitas se puede representar en el n- espacio correspondiente.

En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano bidimensional,  mientras que cada una de las ecuaciones  será representada por una recta. La solución será el punto  (o línea) donde se intersequen todas las rectas representan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que se intersequen al mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solución.

En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional, siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en un único punto, las coordenadas de este serán la solución al sistema. Si, por el contrario, la intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie.

Para sistemas de 4 o más incógnitas, la representación gráfica no existe, por lo que dichos problemas no se enfocan desde esta óptica.

Igualación:

El método de igualación consiste en lo siguiente:

 Supongamos que tenemos dos ecuaciones:

a = b

a = c

Donde a, b y c  representan simplemente los miembros de estas ecuaciones (son expresiones algebraicas).

De las dos igualdades anteriores se deduce que

b = c

Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en a ni en b, entonces la ecuación

B= c

no contendría dicha incógnita.

Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuación con solo una incógnita, digamos   .

Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye   por su solución en otras ecuaciones donde aparezca   para reducir el número de incógnitas en dichas ecuaciones.

Ejemplo

El sistema de ecuaciones

2 x – 3 y = -1

2 x + 4 y = 6

es equivalente a este otro

2 x = -1 + 3 y

2 x = 6 – 4 y

El segundo sistema lo he obtenido pasando los términos en   del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema.

Del segundo sistema se deduce que

-1 + 3 y = 6 – 4 y

que es una ecuación con una sola incógnita cuya solución es   y = 1.

Sustituyendo   por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que

2 x – 3 = - 1

que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es   x = 1.

Sustitución:

Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma

Entonces podemos despejar   en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la ecuación (f- e).b + c = d

Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las de partida.

Aquí   a, b, c, d, e  y   f  son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema.

Ejemplo

Intentemos resolver

4 x + 3 y = 7

2 x – y = 1

La primera ecuación se puede reescribir de la forma 2. (2 x) + 3 y = 7.

Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que 2x=1+y.

Sustituyendo   2x   por 1+y en 2.(2x)+3y=7

se tiene que 2.(1+y)+3y = 7

que es una ecuación con solo una incognita y cuya solución es y=1.

Sustituyendo y por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida obtenemos una ecuación de una sola incognita 4 + 3y=7

cuya solución es   x=1.

Eliminación (sumas y restas)

4.1.4 Sistemas de ecuaciones equivalentes.

Los sistemas de ecuaciones equivalentes son aquellos que tienen las mismas soluciones o raíces, aunque posean distintos números de ecuaciones. Una de las reglas de equivalencia en los sistemas de ecuaciones es que si a ambos miembros de una ecuación les sumamos o restamos una misma cantidad (no una incógnita), dará como resultado un sistema equivalente (de esta se pasa de un miembro a otro miembro sumando lo que resta o restando lo que se suma). También si procedemos a multiplicar o dividir a los dos miembros pertenecientes a la ecuación de un sistema por un número que sea distinto de cero, el sistema que resultará será equivalente (así lo que se multiplica a un miembro pasa a dividir al otro miembro y viceversa).

Una ecuación es equivalente, si a los dos miembros se les suma o resta un mismo valor:

x + 3 = −2

x + 3 − 3 = −2 − 3

x = −5

4.1.5 Eliminación de Gauss y Gauss-Jordan.

Una variante de este método, denominada eliminación de Gauss-Jordán, es un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada  del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algorítmico.

El método de eliminación de Gauss o simplemente método de Gauss consiste en convertir un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas, en uno escalonado, en el que la primera ecuación tiene n incógnitas, la segunda ecuación tiene n - 1 incógnitas, ..., hasta la última ecuación, que tiene 1 incógnita. De esta forma, será fácil partir de la última ecuación e ir subiendo para calcular el valor de las demás incógnitas.

4.1.5.1 Definición de matriz.

En matemática  una matriz es un arreglo bidimensional de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo La notación de una matriz A tiene la forma:

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales  o para representar transformaciones lineales dadas una base. En este último caso, las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal

4.1.5.2 Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales.

Dado un sistema de ecuaciones:

Se puede expresar de forma matricial de la siguiente manera:

La expresión anterior, de forma abreviada A.X= B se llama expresión matricial del sistema. Las matrices se conocen como:

A Matriz de coeficientes

X Matriz de las incógnitas 

B Matriz de los términos independientes 

Matriz Ampliada

Se representa por A*

se le llama matriz ampliada a la matriz de los coeficientes ampliada con la columna de los términos independientes.

Es frecuente expresar la matriz de los coeficientes (a) y la matriz ampliada (A*) en una única expresión.

4.1.5.3 Operaciones elementales sobre renglones.

Para una matriz  A  se definen tres operaciones elementales por renglones (o columnas), nos remitiremos a las operaciones por renglones. Cuando se efectúan las operaciones elementales se obtiene una matriz equivalente y se utiliza el símbolo de equivalencia.

Intercambiar dos renglones

Ejemplo:   si intercambiamos el renglón  1  y  3:

 Multiplicar un renglón por una constante distinta de cero

Ejemplo:    si multiplicamos el renglón  3 por 2:

Sumar un renglón a otro renglón

Ejemplo:   si sumamos el renglón  3  al renglón  2:

Las operaciones  II y III se combinan para sumar un múltiplo de un renglón a otro.

Ejemplo

 1) Comenzamos con la matriz:

2) Multiplicamos el renglón  1 por 2:

3) Sumamos el renglón  1  al renglón  2:

4)  Finalmente multiplicamos por 1/2 el renglón  1:

4.1.5.4 Reducción de Gauss y Gauss-Jordan.

4.1.5.5 Sistemas homogéneos.

Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tiene todos los términos independientes nulos se dice que es homogéneo.

Sólo admite la solución trivial: x₁ = x₂ =... = x_n = 0.

La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el nº de incógnitas, o dicho de otra forma, que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo.

r < n

Observemos que esto se debe a que:

De este modo estamos en el caso del teorema de Rouche en el que r(A)=r(A') y su valor es menor al número de incógnias, siendo así el sistema compatible indeterminado.

4.2 Álgebra de Matrices

4.2.1 Tipos de matrices (cuadrada, rectangular, triangular, matriz identidad, matriz transpuesta).

Cuadrada:

Se dice que una matriz A es cuadrada si tiene el mismo número de filas que de columnas. Ejemplos de matriz cuadrada:

Puede ser una matriz con valores:

O también una matriz con subíndices:

Puede ser otro tamaño e incluso con variables:

Se llama diagonal principal de una matriz A a la diagonal formada por los elementos aii.

Se llama diagonal secundaria a la diagonal del cuadrado que no es la principal, tiene por extremos los elementos an,1 y an,1, como características, todos los elementos tienen la particularidad que sus subíndices suman (n+1), por ejemplo a8, n-7, donde 8 + (n - 7 ) = n + 1.

Rectangular:

Es aquella matriz que no es cuadrada, esto es que la cantidad de filas es diferente de la cantidad de columnas.

Puede ser de dos formas; vertical u horizontal.

Triangular:

Triangular Superior:

Se dice que una matriz (cuadrada) es triangular superior si todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal son nulos.

Triangular Inferior:

Se dice que una matriz es triangular inferior si todos los elementos que están por encima de la diagonal principal son ceros.

Identidad:

Se llama matriz identidad de orden n y se nota In a una matriz cuadrada de orden n en la que los elementos de la diagonal principal son 1 y el resto 0

La matriz identidad puede ser de cualquier tamaño, siempre y cuando sea cuadrada

Transpuesta:

Matriz traspuesta (At). Se llama matriz traspuesta de una matriz A a aquella matriz cuyas filas coinciden con las columnas de A y las columnas coinciden con las filas de A.

4.2.2 Operaciones con matrices (suma, diferencia, multiplicación por escalar y producto de matrices).

Suma:

Interna:

La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.

Asociativa:

A + (B + C) = (A + B) + C

Elemento neutro:

A + 0 = A

Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.

Elemento opuesto:

A + (−A) = O

La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.

Conmutativa:

A + B = B + A

Diferencia:

La diferencia de matrices es un caso particular de la suma. Restar dos matrices es lo mismo que sumarle a la primera la opuesta de la segunda.

Multiplicación:

Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

M_{m x n} x M_{n x p} = M _{m x p}

El elemento c_ij de la matriz producto se obtienemultiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Por escalar:

Dada una matriz A=(a_ij) y un número real k R, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.

kA=(k a_ij).

Producto de matrices:

Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

M_{m x n} x M_{n x p} = M _{m x p}

El elemento c_ij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

4.2.3 Propiedades de las operaciones con matrices.

Asociativa:

A · (B · C) = (A · B) · C

Elemento neutro:

A · I = A

Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz

A.

No es Conmutativa:

A · B ≠ B · A

Distributiva del producto respecto de la suma:

A · (B + C) = A · B + A · C

4.2.4 Matriz inversa.

La inversa de una matriz, si existe, es única.

La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden:

Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa,

Una matriz es invertible si y sólo si el determinante de A es distinto de cero. Además la inversa satisface la igualdad:

Donde A es el determinante de A y adj A es la matriz de adjuntos de A.

4.3 Determinantes

4.3.1 Definición de un determinante.

En Matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alineada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

4.3.2 Expansión por coefactores.

4.3.3 Propiedades de los determinantes.

El valor absoluto del determinante es igual a la superficie del paralelogramo definido por X y X' (x sin 0 es en efecto la altura del paralelogramo, por lo que A = Base × Altura).

El determinante es nulo si y sólo si los dos vectores son coliniales (el paralelogramo se convierte en una línea).

Su signo es estrictamente positivo si y sólo si la medida del ángulo (X, X ') se encuentra en ]0, [.

La aplicación del determinante es bilineal: la linealidad respecto al primer vector se escribe y respecto al segundo

La figura, en el plano, ilustra un caso particular de esta fórmula. Representa dos paralelogramos adyacentes, uno definido por los vectores u y v (en verde), y otro por los vectores u' y v (en azul). Es fácil ver sobre este ejemplo el área del paralelogramo definido por los vectores u+u' y v (en gris): es igual a la suma de los dos paralelogramos precedentes a la cual se sustrae el área de un triángulo y se añade el área de otro triángulo. Ambos triángulos se corresponden por translación y la fórmula siguiente se verifica Det (u+u', v)=Det (u, v)+Det (u', v).

El dibujo corresponde a un caso particular de la fórmula de bilinealidad ya que las orientaciones han sido elegidas de manera que las áreas tengan el mismo signo, aunque ayuda a comprender el contenido geométrico.

4.3.4 Regla de Cramer.

La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación  gaussiana para matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD

Si Ax=b es un sistema de ecuaciones. A es la matriz de coeficientes del sistema, X= (X1,……Xn) es el vector columna de las incógnitas y b es el vector columna de los términos independientes. Entonces la solución al sistema se presenta así:

Donde Aj es la matriz resultante de reemplazar la j-ésima columna de A por el vector columna b. Hágase notar que para que el sistema sea compatible determinado, el determinante de la matriz A ha de ser no nulo.

Sistema de 2x2:

Para la resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de la forma. Dado el sistema de ecuaciones:

Se representa matricialmente:

Entonces, x e y pueden ser encontradas con la regla de Cramer, con una división de determinantes,, de la siguiente manera:

Sistema de 3 x 3

La regla para un sistema de 3x3, con una división de determinantes:

Que representadas en forma de matriz es:

x, y, z pueden ser encontradas como sigue:

4.4 Aplicaciones: Modelo insumo-producto, análisis de ventas y comportamiento del consumidor. 

Modelo insumo- producto:

Caracteriza la demanda y oferta que cada sector productivo hace a los demás (incluyéndose a sí mismo). Además de describir las transacciones entre diversos sectores de la economía real, estudia que el efecto de la variación de la demanda final de cualquiera de ellos tiene sobre todos los demás cuando se alcanza la situación de equilibrio. 

Análisis de ventas:

Se refiere a la comparación de las ventas reales de una empresa contra sus objetivos de ventas, considerando zonas geográficas, el número de vendedores por zona, etc.

Comportamiento del consumidor

El comportamiento del consumidor es el estudio del comportamiento que los consumidores muestran al buscar, comprar, utilizar, evaluar y desechar los productos y servicios que, consideran, satisfarán sus necesidades. El comportamiento del consumidor, como una disciplina del marketing existe desde los años 60 y se enfoca en la forma que los individuos toman decisiones para gastar sus recursos disponibles (tiempo, dinero y esfuerzo) en artículos relacionados con el consumo.

Resumen:

Una solución de una ecuación lineal con dos incógnitas x y y consiste en una pareja de números: un valor de x y un valor de y, que satisfacen la ecuación. En un sentido más amplio, una solución de un sistema de dos o más ecuaciones lineales es una solución que satisface a la vez todas las ecuaciones en el sistema.

Podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales gráficamene, por dibujar las gráficas y determinar donde se cruzan, o algebráicamente, por combinar las ecuaciones para eliminar cada incógnita salvo que una, y entonces despejarla.

Un sistema de dos ecuaciones lineales tiene:

(1) Una sola (única) solución. Ocurre este caso cuando las dos rectas correspondientes no están paralelas, y entonces se cruzan en un solo punto.

(2) Ninguna solución. Ocurre este caso cuando las dos rectas son paralelas y distintas.

(3) Un número infinito de soluciones. Ocurre este caso cuando las dos ecuaciones representan la misma recta. En este caso, se represente las soluciones por designar una variable como arbitraria y despejar a la otra.

Fuentes:

Jagdish C. Arya, Robin W. Lardner. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración y economía. México: Pearson 

Wikipedia. (2011). Sistemas de ecuaciones lineales. Mayo 2015, de Google Sitio web: https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales

Duvis Silva . (2013). Sistemas de ecuaciones lineales . noviembre 2014, de YouTube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=rgyVIHE_JfU

Julio Profe. (2009). Sistemas de ecualciones lineales 2 x 2 . Diciembre 2014, de YouTube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=v6iKv3QXqNs

Vitutor . (2011). Sistemas de ecuaciones equivalentes . agosto 2015, de Google Sitio web: http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/equi.html

Wikipedia. (2012). Eliminacion de Gauss- Jordan . octubre 2015, de Google Sitio web: https://es.wikipedia.org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_de_Gauss-Jordan

jvcontrerasj. (2011). Determinantes por Eliminación de Gauss. julio 2015, de YouTube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=9TcdXsKuOv0

Tareas Plus. (2012). Matrices: Definición . noviembre 2015, de YouTube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=oGUA5PMcILk

Hotmath. (2014). Operaciones en renglones . julio 2015, de Google Sitio web: http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/matrix-row-operations.html

UTVPAV. (2014). Operaciones Elementales . agosto 2015, de YouTube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=y3F1B4-sVko

Tareas Plus . (2011). Ejemplo de reducción de Gauss Jordan . abril 2015, de YouTube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=M1mvVy6347U

Vitutor . (2013). Tipos de Matrices. Noviembre 2015, de Google Sitio web: http://www.vitutor.com/algebra/matrices/tipos.html

Unicoos. (2011). Matriz inversa. octubre 2015, de Youtube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=3BpGef99HEs

Wikipedia. (2011). Determinante. octubre 2015, de Google Sitio web: https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)

Marcel Ruiz . (2009). Se explica como calcular determinantes con coefactores . octubre 2015, de Youtube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=AFOEaV228EA

Vitutor . (2011). Propiedades de los Determinantes . Abril 2015, de Google Sitio web: http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/propiedades.html

Julio Profe. (2010). Regla de Cramer. Julio 2015, de YouTube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=yVRpljpObDU

Conclusión:

 Mediante el uso de las matrices se resuelven sistemas de ecuaciones lineales, además se resalta la importancia que tienen en la resolución de problemas de la vida cotidiana con lo cual se llega a dar una solución exacta y mejores resultados en un determinado proceso.

Conclusión General

Con los temas proporcionados, debemos ser capaces de resolver los problemas relacionados con los temas de cada módulo, enfocándonos a la Administración de Empresas debemos saber que hacer ante un problema.